Jumat, 13 April 2012

It's Been Four

12 April 2012 ,,,
It has been Four years since that Time.I Am so Confuse,, ,
where do i have to look for ur News.
where do I have to Find U...
I had Nothing,,, but MemoRy . . !

Be well Girl,,, Be a super Girl.
I'll See Ur Succes.
I'll See ur BEautifully Wings u gotta Fly,,
Be the most beautyfull. . .
My Butterfly ^_^

Senin, 25 Oktober 2010

“PERSAMAAN SCRODINGER PADA ATOM HIDROGEN”

BAB.I PENDAHULUAN

Telah dipelajari bahwa perangkat dari teori kuantum lama adalah :
Postulat Planck mengenai kuantisasi energi osilator harmonik elektron yang menjadi sumber radiasi termal pada benda hitam sempurna.
Teori Einstein mengenai efek fotolistrik yang mengandaikan bahwa cahaya terkuantisasi.
Perilaku partikel dari radiasi elektromagnetik yang menerangkan efek Compton (dualism cahaya).
Postulat de Broglie tentang perilaku partikel bergerak sebagai gelombang (dualism partikel).
Prinsip Heisenberg mengenai ketidakpastian harga besaran x dan p jika diukur serentak.
Teori Bohr mengenai atom hydrogen.
Namun demikian perangkat teori ini tidak dapat menerangkan beberapa gejala tingkat atom dan sub-atom lain. Contohnya adalah spektrum atom berelektron banyak, dan laju transisi electron dari satu tingkat energi ke tingkat energi lainnya dalam hidrogen dan atom-atom lain. Bohr tidak dapat menerangkan mengapa garis spektral tertentu berintensitas lebih tinggi dari pada yang lainnya, dan tidak dapat menerangkan bahwa sesungguhnya garis spektral terdiri dari garis-garis terpisah yang panjang galombangnya berbeda sedikit. Selain itu perangkat ini tidak menyeluruh(komprehensif) sebagai wadah untuk menerangkan gejala-gejala yang bersumber pada proses-proses fisika di tingkat atom dan sub-atom.
Pada tahun 1925 Erwin Schroedinger mengajukan suatu teori, Mekanika Kuantum, yang mana lebih menyeluruh tentang gejala yang bersumber pada proses atom dan sub-atom. Perbedaan pokok antara mekanika Newton (klasik) dengan mekanika kuantum terletak pada cara menggambarkannya. Dalam mekanika klasik, masa depan partikel telah ditentukan oleh kedudukan awal, momentum awal serta gaya-gaya yang beraksi padanya. Dalam dunia makroskopik kuantitas seperti ini dapat ditentukan dengan ketelitian yang cukup sehingga mendapatkan ramalan mekanika Newton yang cocok dengan pengamatan. Dalam mekanika kuantum ketentuan tentang karakteristik masa depan seperti mekanika Newton tidak mungkin diperoleh, karena kedudukan dan momentum suatu partikel tidak mungkin diperoleh dengan ketelitian yang cukup, sehingga dalam teori ini digunakan prinsip ketidakpastian dan probabilitas.
Mekanika kuantum timbul saat mekanika klasik dianggap tidak mampu menjelaskan banyaknya fakta eksperimen yang menyangkut perilaku sistem yang berukuran atom, bahkan teori mekanika klasik memberi distribusi spektral yang salah radiasi dari suatu rongga yang dipanasi.
Mekanika kuantum menghasilkan hubungan antara kuantitas yang teramati, tatapi prinsip ketidaktentuan menyebutkan bahwa kuantitas teramati bersifat berbeda dalam kawasan atomik. Dalam mekanika kuantum kedudukan dan momentum awal partikel tidak dapat diperoleh dengan ketelitian yang cukup.
Perbedaan mekanika Newton dan Mekanika Newton:
Mekanika Newton
Kedudukan awal dapat ditentukan
Momentum awal
Gaya – gaya yang bereaksi padanya
Kuatitas teramati dengan teliti
Keadaan awal dan akhir dapat ditentukan dengan teliti
Mekanika Kuantum:
kuantitas dapat teramati
Kuantitas teramati bersifat berbeda dengan atomik
Kedudukan dan momentum awal tidak dapat dipereoleh dengan ketelitian yang cukup

A. Persamaan Gelombang
Kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum ialah fungsi gelombang Y dari benda itu. Walaupun Y sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis, kuadrat besar mutlak ½Y½2 ( atau sama dengan YY* jika Y kompleks ) yang dicari pada suatu tempat tertentu pada suatu saat berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan benda itu di tempat itu pada saat itu.
Momentum, momentum sudut, dan energi dari benda dapat diperoleh dari Y. Persoalan mekanika kuantum adalah untuk menentukan Y untuk benda itu bila kebebasan gerak dibatasi oleh aksi gaya eksternal.
Biasanya untuk memudahkan kita ambil ½Y½2 sama dengan peluang P untuk mendapatkan partikel yang diberikan oleh Y, hanya berbadinng lurus dengan P. Jika ½Y½2 sama dengan P, maka betul bahwa :
2 dV = 1 normalisasi
Karena :
dV = 1
ialah suatu pernyataan matematis bahwa partikel itu ada di suatu tempat untuk setiap saat, jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu. Selain bisa dinormalisasi , Y harus berharga tunggal, karena P hanya berharga tunggal pada tempat dan waktu tertentu , dan kontinu
Persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan pokok dalam mekanika kuantum serupa dengan hukum gerak kedua merupakan persamaan pokok dalam mekanika newton, adalah persamaan gelombang dalam variabel Y.
( persamaan gelombang )
Persamaan gelombang yang menentukan gelombang dengan kuantitas variabel y yang menjalar dalam arah x dengan kelajuan v.
Untuk gelombang monokromatik
Y= A e = A cos 
y merupakan kuantitas kompleks
1. Persamaan Schrodinger bergantung waktu
Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang Y bersesuaian dengan variabel gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, Y bukanlah suatu kuantitas yang dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itu, kita akan menganggap Y dalam arah x dinyatakan oleh :
Y = Ae-2pI(Vt-x/l)
sehingga :
Y = Ae-(i/ħ)(Et-px)
Persamaan di atas merupakan penggambaran matematis gelombang ekuivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x. Namun, pernyataan fungsi gelombang Y hanya benar untuk partikel yang bergerak bebas. Sedangkan untuk situasi dengan gerak partikel yang dipengaruhi berbagai pembatasan untuk memecahkan Y dalam situasi yang khusus, kita memerlukan persamaan Schrodinge
Pendekatan Schrodinger disebut sebagai mekanika gelombang. Persamaan Schrodinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung kelemahan yang sama yaitu persamaan tersebut tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisis yang ada karena persamaan itu sendiri menyatakan sesuatu yang baru dan dianggap sebagai satu postulat dari mekanika kuantum, yang dinilai kebenarannya atas dasar hasil-hasil yang diturunkan darinya.

Persamaan Schrodinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan persamaan Schrodinger untuk kasus khusus partikel bebas (potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu cara pun yang membuktikan bahwa perluasan itu benar.
Yang bisa kita lakukan hanyalah mengambil postulat bahwa persamaan Schrodinger berlaku untuk berbagai situasi fisis dan membandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok, maka postulat yang terkait dalam persamaan Schrodinger sah, jika tidak cocok, postulatnya harus dibuang dan pendekatan yang lain harus dijajaki.




dimana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z dan t.
Dalam kenyataanya, persamaan Schrodinger telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Pada rumus terakhir diatas hanya bisa dipakai untuk persoalan non relativistik dan rumusan yang lebih rumit jika kelajuan partikel yang mendekati cahaya terkait. Karena persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam batas – batas berlakunya, kita harus mengakui bahwa persamaan Schrodinger menyatakan suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis.
Betapapun sukses yang diperoleh persamaan Schrodinger, persamaan ini tetap merupakan postulat yang tidak dapat diturunkan dari beberapa prinsip lain, dan masing – masing merupakan rampatan pokok, tidak lebih atau kurang sah daripada data empiris yang merupakan landasan akhir dari postulat itu. Penjabaran Persamaan Schrodinger bergantung waktu
 ~ (identik) dengan y dalam gerak gelombang umum
 : menggambarkan keadaan gelombang kompleks yang tak dapat terukur
= A e , = 2f, V =f
maka =A e ,
energi totalnya

E=h = , dengan = = , p=
F= =
Persamaan gelombangnya menjadi
= Ae

jadi
Kita tahu bahwa energi total
E= Ek+Ep (non relativistik)
= ; dikali dengan 

E= , karena , maka
E=


-
sehingga menjadi :

(persamaan schrodinger bergantung waktu dalam satu dimensi)
2. Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu
Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktu secara eksplisit, gaya yang bereaksi padanya, jadi juga V, hanya berubah terhadap kedudukan partikel. Jika hal itu benar, persamaan Schrodinger dapat disederhanakan dengan meniadakan ketergantungan terhadap waktu t. Fungsi gelombang partikel bebas dapat ditulis
Y = Ae-(i/ħ)(Et – px) = Ae-( iE/ħ )te+(ip/ħ)x
= e-(iE/ħ)t
ini berarti, Y merupakan perkalian dari fungsi bergantung waktu e-(iE/h)t dan fungsi yang bergantung kedudukan . Kenyataanya, perubahan terhadap waktu dari semua fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya jenuh mempunyai bentuk yang sama seperti pada partikel bebas
Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam satu dimensi

Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam tiga dimensi

Pada umumnya kita dapat memperoleh suatu fungsi gelombang Y yang tidak saja memenuhi persamaan dan syarat batas yang ada tetapi juga turunannmya jenuh, berhingga dan berharga tunggal dari persamaan keadaan jenuh Schrodinger. Jika tidak, sistem itu tidak mungkin berada dalam keadaan jenuh.
Jadi kuantitas energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur wajar dari teori dan kuantitas energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai jejak universal yang merupakan ciri dari semua sistem yang mantap.
Harga En supaya persamaan keadaan tunak Schrodinger dapat dipecahkan disebut harga eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian disebut fungsi eigen. Tingkat energi diskrit atom hidrogen :
En = - n = 1,2,3……
Dalam atom hidrogen , kedudukan elektron tidak terkuantitasi, sehingga kita bisa memikirkan elektron berada disekitar inti dengan peluang tertentu ½Y½2 per satuan volume tetapi tanpa ada kedudukan tertentu yang diramalkan atau orbit tertentu menurut pengertian klasik.
Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa eksperimen yang dilakukan pada atom hidrogen selalu menunjukkan bahwa atom hidrogen selalu mengandung satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satu daerah dan 73 persen di daerah lainnya; peluang itu menunjukkan peluang untuk mendapatkan elektron , dan walaupun peluang ini menyebar dalam ruang, elektronnya sendiri tidak.














BAB.II ISI

PERSAMAAN SCHRODINGER ATOM HIDROGEN
Massa proton mp jauh lebih besar dibandingkan massa electron me. didalam pembahasan pada bab ini dilakukan penyederhanaan berupa asumsi proton diam di pusat koordinat dan electron bergerak mengelilinginya di bawah pengaruh medan atau gaya Coulumb.
Pendekatan yang lebih baik dilakukan dengan memandang kedua pertikel proton dan electron berotasi di sekitar pusat massa bersama dengan yang berada di dekat pusat proton. Tetapi sekali lagi untuk penyederhanaan, efek ini diabaikan
Karena proton dianggap diam, maka kontribusi energy system hanya diberikan oleh electron yaitu energy kinetic
Ek = p ⃗^2/〖2m〗_e 4.1
dan energy potensial
V (r) = - e^2/(4πϵ_0 r) 4.2
yaitu
E ≡ H = p ⃗^2/〖2m〗_e - e^2/(4πϵ_0 r) 4.3
Dengan demikian, persamaan Schrodinger untuk atom hydrogen
(-ℏ^2/(2m_e ) ∇^2- e^2/(4πϵ_0 r))Ψ(r ⃗) = EΨ(r ⃗) 4.4
Mengingat system atom hidrogen mempunyai simetri bola, analisis menjadi lebih sederhana bila operator ∇^2 diungkapkan dalam koordinat bola. Di dalam koordinat bola (r,θ,φ) persamaan 4.4 menjadi
ℏ^2/(2m_e ) 1/r^2 {∂/∂r (r^2 ∂ψ/∂θ)-1/sinθ ∂/∂θ (sinθ ∂ψ/∂θ)-1/sinθ ∂ψ/〖∂φ〗^2 }-(e^2/(4πϵ_0 r) ψ)=EΨ 4.5
Selanjutnya, untuk mendapatkan solusi bagi persamaan 4.5 di atas dilakukan pemisahan variable Ψ(r ⃗) = Ψ (r,θ,φ) sebagai berikut
Ψ (r,θ,φ) = R(r)Θ(θ)Ф(φ) 4.6
Substitusikan ungkapan 4.6 kedalam pers, 4.5 kemudian dikalikan 〖2m_e r〗^2/ℏ^2 dan dibagi ungkapan 4.6 didapatkan
1/R d/dr (r^2 dR/dr)+ 1/(Θ sin⁡θ ) d/dθ (sin⁡〖θ dΘ/dθ〗 )+1/(〖Фsin〗^2 θ) (d^2 Ф)/〖dφ〗^2 + 〖2m_e r〗^2/ℏ^2 (E+e^2/(4πϵ_0 r))=0 4.7
Dari persamaan 4.7 ini tampak bahwa suku pertama dan keempat hanya bergantung pada jari-jari r, suku kedua dan ketiga hanya bergantung sudut θ dan φ.
Penjumlahan suku-suku yang hanya bergantung pada jari-jari dan dua sudut ini akan selalu sama dengan nol untuk sembarang nilai r, θ dan φ jika masing-masing suku sama dengan konstan, seperti akan jelas pada pers, 4.3,tetapkan keduanya sama dengan tetapan c = ±l (l+1). Suku yang hanya bergantung pada jari-jari menjadi :
1/R d/dr (r^2 dR/dr)+ 〖2m_e r〗^2/ℏ^2 (E+e^2/(4πϵ_0 r))= l(l+1). 4.8a
atau
d/dr (r^2 dR/dr)+ 〖2m_e r〗^2/ℏ^2 (E+e^2/(4πϵ_0 r))R= l(l+1)R. 4.8b
Sedangkan suku yang hanya mengandung sudut θ dan φ menjadi
1/(Θ sin⁡θ ) d/dθ (sin⁡〖θ dΘ/dθ〗 )+1/(Фsin^2 θ) (d^2 Ф)/〖dφ〗^2 = - l(l+1). 4.9a
Setelah dikalikan sin2 θ pers.4.9a menjadi
sin⁡θ/Θ d/dθ (sin⁡〖θ dΘ/dθ〗 )+1/Ф (d^2 Ф)/〖dφ〗^2 + l(l+1) sin2 θ = 0 4.9b
Tampak pers. 4.9b juga terpisah menjadi dua bagian yaitu bagian yang hanya bergantung pada sudut azimuth φ dan bagian yang bergantung pada θ. Selanjutnya tetapkan masing-masing bagian sama dengan konstanta –m2 dan m2. Dengan alasan yang akan menjadi jelas kemudian, pilih
1/Ф (d^2 Ф)/〖dφ〗^2 = -m2 4.10a
atau
(d^2 Ф)/〖dφ〗^2 + m2 Ф =0 4.10b
Sehingga :
sin⁡θ/Θ d/dθ (sin⁡〖θ dΘ/dθ〗 )+ l(l+1) sin2 θ= m2 4.11a
atau, setelah dikalikan dengan Θ/(〖sin〗^2 θ) diperoleh
1/sin⁡θ d/dθ (sin⁡〖θ dΘ/dθ〗 )+ {l(l+1) - m2/(〖sin〗^2 θ) } Θ = 0 4.11b
Dengan demikian, persamaan 4.5 dapat dipisahkan menjadi 3 persamaan deferensial biasa. Selanjutnya, kita tentukan solusi masing-masing persamaan tersebut.
Persamaan Azimut
Kita mulai dari persamaan sederhana 4.10a yakni persamaan azimuth yang menggambarkan rotasi disekitar sumbu z. sudut rotasi disekitar sumbu-z ini adalah nol sampai 2π dan periodisitasnya. Itulah sebabnya konstanta pada pers. 4.11a dipilih negative (= -m2) agar memberi solusi berupa fungsi sinusoida yang periodic. Bila dipilih positif akan member solusi fungsi eksponensial. Sehinnga untuk satu posisi yang sama akan diberikan nilai yang berbeda.
Untuk konstanta negative, solusinya
F≡ Fm(φ)= Aeimφ 4.12
Keunikan Ф di setiap φ yaitu
Fm(φ)= Fm(φ+2nπ) 4.13
untuk setiap m bulat, dipenuh
m= 0,±1,±2,±3,… 4.14
Sedangkan syarat normalisasi bagi Фm
(Fm, Fn)= ∫_0^2π▒F_m^* (φ) Fn(φ) dφ= δmn
dipenuhi oleh konstanta A= 1/√2π. Karena itu solusi yang diinginkan adalah
Fm(φ)= 1/√2π eimφ 4.15
Bilangan bulat m disebut bilangan kuantum magnetic.

Persamaan Polar
Selanjutnya kita tentukan solusi pers. 4.11b
1/sin⁡θ d/dθ (sin⁡〖θ dΘ/dθ〗 )+ {l(l+1) - m2/(〖sin〗^2 θ) } Θ = 0
Persamaan deferensial 4.11b dengan konstanta l(l+ 1) dan m2 dikenal sebagai persamaan diferensial legendre terasosiasi. Solusi dari persamaan ini dapat diperoleh menggunakan metode frobenius dan diberikan oleh deret berhingga yang dikenal sebagai polinom Legendre terasosiasi. Inilah alasan pengambilan tetapan ± l(l+ 1) maka solusinya adalah deret takhingga.
Solusi pers. 4.11b diberikan oleh polinom Legendre P_l^m(cos θ)
Q(θ)≡ Qlm(θ)= NlmP_l^m(cos θ) 4.16
dengan Nlm merupakan konstanta normalisasi
(Qlm, Ql’m’)= Nlm* Nlm ∫_0^π▒〖P_l^m (cos θ)P_l'^m' (cos θ)〗sin θ dθ= δjj’δmm’ 4.17a
Mengingat sifat ortogonalitas P_l^m(cos θ)
∫_0^π▒〖P_l^m (cos θ)P_l'^m' (cos θ)〗sin θ dθ= (2 (l+m)!)/(2l+1 (l-m)!) δjj’δmm 4.17b
didapatkan
Nlm = √((2l+1(l+m)!)/2(l-m)!) 4.17c
Sehingga
Qlm(θ)= √((2l+1(l+m)!)/2(l-m)!) P_l^m(cos θ) 4.18
Bentuk eksplisit polinom P_l^m(cos θ) dapat diperoleh melalui rumus Rodigues:
P_l^m(cos θ) = 1/(2^l l!)(1-cos2θ)m/2d^(l+m)/(d 〖cosθ〗^(l+m) )(cos2θ-1)l 4.19
Dari hubungan 4.19 ini tampak bahwa untuk harga l tertentu kaka m maksimum terjadi jika m= l dan P_l^m
P_l^m=P_l^m(cos θ)= 1/(2^l l!)(1-cos2θ)l/2d^2l/(d 〖cosθ〗^(2l ) )(cos2θ-1)l = (2l)!/(2^l l!)sinl θ 4.20a
Sedangkan m minimum terjadi pada m=-l
P_l^(-l)=P_l^(-l)(cos θ)= 1/(2^l l!)(1-cos2θ)-l/2d^2l/(d 〖cosθ〗^(2l ) )(cos2θ-1)l = (-1)^l/(2^l l!)sinl θ 4.20b
Jika dikaitkan dengan ungkapan 4.14, maka untuk l tertentu m dapat berharga
m= 0,±1,±2, ±3,… 4.21
Bilangan bulat l disebut sebagai bilangan kuantum orbital

Persamaan Radial
Sekarang kita tentukan solusi persamaan 4.8b. Pengalian (1/r2) pada persamaan 4.3a memberikan
1/R d/dr (r^2 dR/dr)+ (2m_e)/ℏ^2 (E+e^2/(4πϵ_0 r)-(l(l+1)ℏ^2)/(2m_e r))R = 0 4.8c
Tampak bahwa persamaan radial ini terdapat nilai atau energy eigen E. Pada pembahasan disini dibatasi pada keadaan terikat yaitu keadaan dengan energy negative E= -|E|
Perubahan variable
ρ= ((8m_e|E| )/ℏ^2 )^(1/2)r 4.22
membuat persamaan 4.8c tereduksi menjadi
1/ρ^2 d/dρ (ρ^2 dR/dρ)- (l (l+1))/ρ^2 R +( λ/ρ - 1/4)R = 0 4.23
Dengan
λ= e^2/(2πεℏ^(2 ) ) (m_e/8|E| )^(1/2) 4.24
Untuk menentukan solusi persamaan 4.23 kita selidiki terlebih dahulu persamaan tersebut pada dua daerah ekstrim yaitu daerah jauh sekali dan daerah pusat koordinat. Sebelumnya, tuliskan terlebih dahulu pers.4.23 dalam bentuk
(d^2 R)/〖dρ〗^2 + 2/ρ dR/dρ – (l(l+1))/ρ^2 R +( λ/ρ - 1/4)R = 0 4.23*
Untuk daerah jauh sekali ρ ∞ pers 4.23* secara efektif menjadi
(d^2 R)/〖dρ〗^2 - 1/4R = 0 4.24
Solusi persamaan ini adalah
R∞e-ρ/2 4.25
Sedangkan pada daerah titik asal
R(ρ)= (U(ρ))/ρ 4.26
Dan disubstitusikan ke dalam suku pertama pers. 4.23*diperoleh
1/ρ^2 d/dρ {ρ^2 d/dρ (U/ρ) } = (d^2 U)/(ρdρ^2 )
Karena itu persamaan 4.23 tereduksi menjadi persamaan deferensial untuk U
(d^2 U)/〖dρ〗^2 -(l(l+1))/ρ^2 U+( λ/ρ - 1/4)U = 0
Tampak bahwa suku domainnya adalah
(d^2 U)/(dρ^2 )- (l ( l+1))/ρ^2 U = 0 (4.28)
Solusi yang memenuhi persamaan suku dominan ini dan kondisis fisis keberhinggan ρ→0 adalah
U ≈ρ^(l+1) ( 4.29 )
Karena itu solusi untuk daerah asal (koordinat), menggunakan hasil (4.29) diberikan oleh :
R ≈ρ^l ( 4,30 )
Mempertimbangkan solusi-solusi untuk daerah ekstreem di depan, solusi umumnya diusulkan berbentuk perkalian antara solusi titik asal, posisi jauh sekali dan fungsi umum terhadap jarak
R(ρ)= ρ^l e^(-ρ/2) L(ρ) ( 4.31)
Subsitusi ungkapan ( 4.31) ke dalam pers (4.23 ) di dapatkan persamaan untuk L yaitu :
ρ (d^2 L)/(dρ^2 )+{2 (l+1)-├ ρ} ┤ dl/〖dρ〗^ +{λ-(l+1)├ .} ┤ L= 0 (4.32)
Solusi deret
L=∑▒a_(s ) ρ^s (4.33)
Akan memberi rumus rekursi
a_(s+1 )= (s+l+1-λ)/((s+1)(s+2l+2)) a_(s ) (4.34 )
Tampak deret akan berhingga jikaλ adalahbilangan bulat, misalkan :
λ=n (4.35 )
Maka a_(s+1 ) dan seterusnya akan menjadi nol jika
s = n – l - 1 (4.36 )
sehingga L(ρ) merupakan polimonial
L= ∑_(s=0)^(n-l-1)▒a_0 ρ^s (4.37 )
Menggunakan pemilihan λ = n, persamman (4.17) menjadi
ρ (d^2 L)/(dρ^2 )+{2 (l+1)-├ ρ} ┤ dl/dρ+{n-(l+1)├ .} ┤ L= 0 (4.38 )
Persamaan (4.38) ini tidak lain adalah persamman diferensial lagueree terasosiasi, yang mempunyai bentuk umum
ρ (d^2 L)/(dρ^2 )+{(p+1)-├ ρ} ┤ (dL_q^p)/dρ+{(q-p)├ .} ┤ L_q^p= 0 (4.39 )
Solusinya disebut polinom laguerre L_q^p dapat diperoleh dari rumus rodriguess
L_q^p(ρ)= q!/( q-p)! e^ρ d^q/(dρ^q ) (e^(-ρ) ρ^(q-p)) (4.40 )
Untuk kasus kita, koefisien p dan q dihubungkan dengan bilangan kuantum orbital l dan bilangan bulat n yang nantinya disebut bilangan kuantum utama menurut
P= 2l +1 (4.41 )
q= n+ l
karena itu solusi persamaan (4.38 ) diberikan oleh
L≡L_q^p=L_(n+l)^(2l+1)(ρ) (4.42 )
dengan demikian, solusi radial R diberikan oleh
R ≡ R_nl = N_nl ρ^l e^(-ρ/2) L_(n+l)^(2l+1) (ρ) (4.43 )
Dengan N_nl adalah konstanta ternormalisasi
〖(R〗_nl, R_n'l') =∫_0^~▒R_nl^+ R_n'l' r^2dr = δ_nn' δ_ll' (4.44 )
Dan diberikan oleh
N_nl =√((1/(2π ε_(0 ) n a_0 )) .^(3 ) (n-l-1)/2n(n+1)!) (4.46 )
Dengan a_o=ℏ/(m_(e ) e^2 ) adalah radius bohr.
Dengan demikian solusi lengkap persamaan (4.8c) berbentuk
R_nl (r)= {〖(2πε_(0 ) n a_0)〗^(-3) (n-l-1)/2n(n+1)!} .^(1/2) (r/(2πε_(0 ) n a_0 )) .^l e^(-r/4πε_(0 ) n a_0 ) L_(n+l)^(2l+1) (r/(2πε_(0 ) n a_0 )) (4.47 )
Dari hubungan p,q, n dan l serta penyebut pada ungkapan (4.41) didapatkan bahwa q-p harus lebih besar atau sama dengan nol, atau
p≤ q (4.48a )
atau (2l+1)≤ n+l, tepatnya
l ≤ n-1 (4.48b )
jadi untuk n tertentu, maka
l=0,1,2,3,4,..,n-1 (4.48c )
bilangan bulat n ini disebut bilangan kuantum utama.

Solusi Eigen dan Distribusi probabilitas
Dari uraian di depan diperoleh solusi eigen lengkap bagi persamaan (4.5 ) yaitu :
ψ (r ⃑ )≡ ψ_nml (r,θ,ϑ)= R_nl (r)Q_lm (θ)F_m (ϑ) (4.49)
Dengan
n= 1,2,3, . ..
l= 0,1,2,3,4,…,n-1 (4.50 )
m= 0,±1, ±2, … , ±l
kombinasi ketiga bilangan n,l,m pada ψ_nml mendefinisikan satu keadaan dari atom hydrogen . mengingat R_nl,Q_lm,F_m merupakan fungsi-fungsi ternormalisasi, maka ψ_nml juga ternormalisasi.
(ψ_(n^' m^' l^',) ψ_nml) = ∫▒〖ψ_(n^' m^' l^' ) 〖 ψ〗_nml 〗 dv = δ_nn' δ_ll' δ_mm' (4.51 )
Hal ini sesuai dengan penafsiran awal bahwa ψ*ψ merupakan rapat probabilitas untuk mendapatkan pertikel dalam keadaan n,l,m pada posisi (r,θ,ϑ). Mengingat bentuk (4.26), fungsi rapat probabilitas dapat di uraikan menjadi bagian radial dan bagian anguler.

Persamaan gelombang pada atom hydrogen.
Untuk mengetahui persamaan gelombang pada atom hydrogen, dapat dicari dengan menggunakan persamaan scrodinger tiga dimensi. Persamaan ini meninjau pada bilangan kuantum utama,bilangan kuantum azimuth dan bilangan kuantum magnetiknya. Berikut adalah persamaan gelombang pada atom hydrogen sampai pada 3 bilangan kuantum utama:
Untuk n= 1, l=0, m=0



Dengan fungsi legendre dan polynomial rodique berikut:

Misal cos θ = x




Mencari Rnl (r) = -〖[〖(2/(2a_0 ))〗^3 (n-l-1)!/〖2n[(n+l)!]〗^3 ]〗^2.e^(-ρ/2).ρ^l L_(n+l)^(2l+1) 〖(ρ)〗^
L =2r/(a_0 n);ρ/2=r/(a_0 n)
L_(n+l)^(2l+1) (ρ) = L_1^1=d^1/〖dρ〗^1 L_2 (ρ)
L_2 (ρ)=e^ρ d^2/〖dρ〗^2 (ρ^2 e^(-ρ))
L_2 (ρ)=e^ρ d^2/〖dρ〗^2 (ρ^2 e^(-ρ))
= e^ρ d^1/〖dρ〗^1 (〖-ρ〗^2 e^(-ρ)+2ρe^(-ρ))
= e^ρ (ρ^2 e^(-ρ)-2ρe^(-ρ)-2ρe^(-ρ)+2e^(-ρ))
=ρ^2- 4ρ+2
L_1^1 (ρ)=d^1/〖dρ〗^1 (ρ^2- 4ρ+2)
= 2ρ-4
Kita mendapatkan bahwa:
ρ^l= ρ = 1/a_0 (2r/n)= r/a_0 untuk n=2
Maka
Rnl (r) = -〖[〖(2/(2a_0 ))〗^3 (n-l-1)!/〖2n[(n+l)!]〗^3 ]〗^(1/2).e^(-ρ/2).ρ^l L_(n+l)^(2l+1) 〖(ρ)〗^
= 〖[〖(2/(2a_0 ))〗^3 (2-0-1)!/〖4[(2+0)!]〗^3 ]〗^(1/2).e^(-r/2a_0 ).r/a_0 (2ρ-4)
R21 (r) = 1/(4√2 〖a_0〗^(3/2) ) e^(-r/2a_0 ).r/a_0 . (2ρ-4)
Digabungkan didapat
Ψnlm (r,θ,φ)= 1/(4√2 〖a_0〗^(3/2) ) e^(-r/2a_0 ).r/a_0 (2ρ-4){ } .

Untuk n=2, l=0, m=0


Dengan fungsi legendre dan polynomial rodique berikut:

Misal cos θ = x




Mencari Rnl (r) = -〖[〖(2/(2a_0 ))〗^3 (n-l-1)!/〖2n[(n+l)!]〗^3 ]〗^2.e^(-ρ/2).ρ^l L_(n+l)^(2l+1) 〖(ρ)〗^
l =2r/(a_0 n);ρ/2=r/(a_0 n)
L_(n+l)^(2l+1) (ρ) = L_2^1=d^1/〖dρ〗^1 L_3 (ρ)
L_3 (ρ)=e^ρ d^3/〖dρ〗^3 (ρ^3 e^(-ρ))
L_3 (ρ)=e^ρ d^3/〖dρ〗^3 (ρ^3 e^(-ρ))
= e^ρ d^2/〖dρ〗^2 (〖-ρ〗^3 e^(-ρ)+〖3ρ〗^2 e^(-ρ))
= e^ρ d^1/〖dρ〗^1 (ρ^3 e^(-ρ)-〖3ρ〗^2 e^(-ρ)-〖3ρ〗^2 e^(-ρ)+〖6ρ〗^1 e^(-ρ))
= e^ρ (〖3ρ〗^2 e^(-ρ)-ρ^3 e^(-ρ)+〖3ρ〗^2 e^(-ρ)-6ρe^(-ρ)+〖3ρ〗^2 e^(-ρ)-6〖ρe〗^(-ρ)-6ρe^(-ρ)+6e^(-ρ))
= -ρ^3+9ρ^2-18ρ+6
L_2^1 (ρ)=d^1/〖dρ〗^1 (-ρ^3+9ρ^2-18ρ+6)
= (-〖3ρ〗^2+18ρ-18)
Kita mendapatkan bahwa:
ρ^l= ρ = 1/a_0 (2r/n)= r/a_0 untuk n=2
Maka
Rnl (r) = -〖[〖(2/(2a_0 ))〗^3 (n-l-1)!/〖2n[(n+l)!]〗^3 ]〗^(1/2).e^(-ρ/2).ρ^l L_(n+l)^(2l+1) 〖(ρ)〗^
= 〖[〖(2/(2a_0 ))〗^3 (2-0-1)!/〖4[(2+0)!]〗^3 ]〗^(1/2).e^(-r/2a_0 ).r/a_0 (-〖3ρ〗^2+18ρ-18)
R20 (r) = 1/(4√2 〖a_0〗^(3/2) ) e^(-r/2a_0 ).r/a_0
Digabungkan didapat
Ψnlm (r,θ,φ)= 1/(4√2 〖a_0〗^(3/2) ) e^(-r/2a_0 ).r/a_0 .(-〖3ρ〗^2+18ρ-18) { } .

Untuk n= 2, l=1, m=0



Dengan fungsi legendre dan polynomial rodique berikut:

Misal cos θ = x




Mencari Rnl (r) = -〖[〖(2/(2a_0 ))〗^3 (n-l-1)!/〖2n[(n+l)!]〗^3 ]〗^2.e^(-ρ/2).ρ^l L_(n+l)^(2l+1) 〖(ρ)〗^
l =2r/(a_0 n);ρ/2=r/(a_0 n)
L_(n+l)^(2l+1) (ρ) = L_3^3=d^3/〖dρ〗^3 L_3 (ρ)
L_3 (ρ)=e^ρ d^3/〖dρ〗^3 (ρ^3 e^(-ρ))
L_3 (ρ)=e^ρ d^3/〖dρ〗^3 (ρ^3 e^(-ρ))
= e^ρ d^2/〖dρ〗^2 (〖-ρ〗^3 e^(-ρ)+〖3ρ〗^2 e^(-ρ))
= e^ρ d^1/〖dρ〗^1 (ρ^3 e^(-ρ)-〖3ρ〗^2 e^(-ρ)-〖3ρ〗^2 e^(-ρ)+〖6ρ〗^1 e^(-ρ))
= e^ρ (〖3ρ〗^2 e^(-ρ)-ρ^3 e^(-ρ)+〖3ρ〗^2 e^(-ρ)-6ρe^(-ρ)+〖3ρ〗^2 e^(-ρ)-6〖ρe〗^(-ρ)-6ρe^(-ρ)+6e^(-ρ))
= -ρ^3+9ρ^2-18ρ+6
L_3^3 (ρ)=d^3/〖dρ〗^3 (-ρ^3+9ρ^2-18ρ+6)
= d^2/〖dρ〗^2 (-〖3ρ〗^2+18ρ-18)
= d^1/〖dρ〗^1 (-6ρ+18)
= -6
Kita mendapatkan bahwa:
ρ^l= ρ = 1/a_0 (2r/n)= r/a_0 untuk n=2
Maka
Rnl (r) = -〖[〖(2/(2a_0 ))〗^3 (n-l-1)!/〖2n[(n+l)!]〗^3 ]〗^(1/2).e^(-ρ/2).ρ^l L_(n+l)^(2l+1) 〖(ρ)〗^
= 〖[〖(2/(2a_0 ))〗^3 (2-1-1)!/〖4[(2+1)!]〗^3 ]〗^(1/2).e^(-r/2a_0 ).r/a_0 (-6)
R21 (r) = 1/(2√6 〖a_0〗^(3/2) ) e^(-r/2a_0 ).r/a_0
Digabungkan didapat
Ψnlm (r,θ,φ)= 1/(2√6 〖a_0〗^(3/2) ) e^(-r/2a_0 ).r/a_0 { } .

Untuk n=2, l=1, m=1




Dengan fungsi legendre dan polynomial rodique berikut:

Misal cos θ = x


=
=



Diawal kita telah mrndapatkan nilai R21 sebesar
R21 (r) = 1/(2√6 〖a_0〗^(3/2) ) e^(-r/2a_0 ).r/a_0
Maka
Ψnlm (r,θ,φ)= 1/(4√2 〖a_0〗^(3/2) ) e^(-r/2a_0 ).r/a_0 { } .

Untuk n=3, l=0,m=0












2/〖Lo〗_ ( R) = - [(2/(na_o )) ^3 ( n-l-1)!/(2n[(n+1)!] ^3 )] ^(1/2) e^((-ρ)/2) ρ^l L_(n+l)^(2l+1) (ρ)
ρ=2R/(a_o n), ρ/2 = R/(a_o n)
L_(n+l)^(2l+1) (ρ) = L_r^3 = d^3/(dρ^3 ) L_r (ρ)
L_r (ρ)= e^ρ d^r/(dρ^r )(ρ^r e^(-ρ))
L_3 (ρ)= e^ρ d^3/(dρ^3 )(ρ^3 e^(-ρ))
= e^ρ d^2/(dρ^2 )(-ρ^3 e^(-ρ)+ 3ρ^2 e^(-ρ))
= e^ρ d^ /(dρ^ )(ρ^3 e^(-ρ)- 3ρ^2 e^(-ρ)- 3ρ^2 e^(-ρ) +6ρe^(-ρ))
= e^ρ (〖- ρ〗^3 e^(-ρ)+ 3ρ^2 e^(-ρ)+3ρ^2 e^(-ρ) - 6ρe^(-ρ) + 3ρ^2 e^(-ρ) – 6 ρ e^(-ρ)-6 ρ e^(-ρ))+
6 e^(-ρ))
= e^ρ (〖- ρ〗^3 e^(-ρ)+ 9ρ^2 e^(-ρ)– 18 ρ e^(-ρ)-6 ρe^(-ρ) + 6
e^(-ρ))
= 〖- ρ〗^3 + 9ρ^2– 18 ρ + 6
L_3^'(ρ)= d/dρ(〖- ρ〗^3 + 9ρ^2– 18 ρ + 6)
= - 3 ρ^2+ 18 ρ-18
R30(R) =-[(2/(3d_0 ))^2 (3-0-1)^1/(2∙3[(3+1)J]^3 )]^(1⁄2) 〖l^-〗^(R⁄(3q_0 )) ρ^0 (-3ρ^2+18ρ-18)

=-[2^3/(3^3 〖q_0〗^3 ) 2/(6(24)^2 )]^(1⁄2) 〖l^-〗^(R⁄(3q_0 )) (〖-3(2R/(3∙q_0 ))〗^2+18(2R/(3∙q_0 ))-18)

=-[2^4/(3^3 〖q_0〗^3 6^2 〖∙6〗^2 〖∙2〗^6 )]^(1⁄2) (2R/(3∙q_0 )) 〖l^-〗^(R⁄(3q_0 )) (-(4R^2)/(3〖q_0〗^2 )+18(2R/(3∙q_0 ))-18)

=-[4/(3√3 〖∙6〗^2 〖 2〗^3 〖q_0〗^(3⁄2) )](-2 R^2/〖q_0〗^2 +18 R/q_0 -27) l^(-R⁄3)

=▁([4/(3√3 〖∙6〗^2 〖 2〗^3 〖q_0〗^(3⁄2) )] )_(×2/3) (27-18 R/q_0 +2 R^2/〖q_0〗^2 ) l^(-R⁄3)

=[4/(9√3 ∙36∙4〖q_0〗^(3⁄2) )](27-18 R/q_0 +2 R^2/〖q_0〗^2 ) l^(-R⁄3)

=▁([4/(1296√3 ∙〖q_0〗^(3⁄2) )] )_(×16) (27-18 R/q_0 +2 R^2/〖q_0〗^2 ) l^(-R⁄3)

=[4/(81√3 ∙〖q_0〗^(3⁄2) )](27-18 R/q_0 +2 R^2/〖q_0〗^2 ) l^(-R⁄3)

Ψ= . [4/(81√3 ∙〖q_0〗^(3⁄2) )](27-18 R/q_0 +2 R^2/〖q_0〗^2 ) l^(-R⁄3)

Untuk n=3, l=1,m= 0


L_4^3 (ρ)=d^3/(dρ^3 ) (ρ^4-16ρ^3+72ρ^2-96ρ+24)
=d^2/(dρ^2 ) (4ρ^3-48ρ^2+144ρ-96)
=d^ /dρ (12ρ^2-96ρ+144)
=24ρ-96
R_31 (R)=-[(2/(3α_0 ))^3 (3-1-1)!/〖2.3[(3+1)!]〗^3 ]^(1/2).e^(-ρ/2) ├ ρ^ρ ⌉_(n+l)^(2 l+1) (ρ)
=-[(2/3)^3 1/〖α_0〗^3 1/(6(24)^3 )]^(1/2).e^(-R/3) α_0 〖 ρ〗^1 (24ρ-96)
=-[(2/3)^3 1/〖α_0〗^3 1/(6(6X4)^3 )]^(1/2).e^(-R/3) α_0 〖 ρ〗^1 (24ρ-96)
=-[(2/3)^3 1/〖α_0〗^3 1/(6.6^3.4^3 )]^(1/2).e^(-R/3) α_0 〖 ρ〗^1 (24ρ^2-96)
=-[(2/3)^3 1/〖α_0〗^3 1/(6^2.6^2 2^6 )]^(1/2).e^(-R/3) α_0 (24(2R/(3α_0 ))^2-96(2R/(3α_0 )) )
=-[((2√2)/(3√3)) 1/〖α_0〗^(3/2) 1/(6^2.2√2.2√2.)]^ .e^(-R/3) α_0 〖2R/(3α_0 ) (▁(16R/α_0 -96))〗_█(:16@)
=-[(4√2)/(9√3.〖α_0〗^(3/2).6^2.2√2.2√2)]^ (6-R/α_0 ) R/α_0 e^((-5R)/(3α_0 ))
=-▁(〖[4/(1296√6.〖α_0〗^(3/2) )]^ 〗_(x 16) ) (6-R/α_0 ) R/α_0 e^((-5R)/(3α_0 ))






Missal :









Untuk n=3, l=1,m=1







Misal




L_4^3 (ρ)=d^3/(dρ^3 ) (ρ^4-16ρ^3+72ρ^2-96ρ+24)
=d^2/(dρ^2 ) (4ρ^3-48ρ^2+144ρ-96)
=d^ /dρ (12ρ^2-96ρ+144)
=24ρ-96
R_31 (R)=-[(2/(3α_0 ))^3 (3-1-1)!/〖2.3[(3+1)!]〗^3 ]^(1/2).e^(-ρ/2) ├ ρ^ρ ⌉_(n+l)^(2 l+1) (ρ)
=-[(2/3)^3 1/〖α_0〗^3 1/(6(24)^3 )]^(1/2).e^(-R/3) α_0 〖 ρ〗^1 (24ρ-96)
=-[(2/3)^3 1/〖α_0〗^3 1/(6(6X4)^3 )]^(1/2).e^(-R/3) α_0 〖 ρ〗^1 (24ρ-96)
=-[(2/3)^3 1/〖α_0〗^3 1/(6.6^3.4^3 )]^(1/2).e^(-R/3) α_0 〖 ρ〗^1 (24ρ^2-96)
=-[(2/3)^3 1/〖α_0〗^3 1/(6^2.6^2 2^6 )]^(1/2).e^(-R/3) α_0 (24(2R/(3α_0 ))^2-96(2R/(3α_0 )) )
=-[((2√2)/(3√3)) 1/〖α_0〗^(3/2) 1/(6^2.2√2.2√2.)]^ .e^(-R/3) α_0 〖2R/(3α_0 ) (▁(16R/α_0 -96))〗_█(:16@)
=-[(4√2)/(9√3.〖α_0〗^(3/2).6^2.2√2.2√2)]^ (6-R/α_0 ) R/α_0 e^((-5R)/(3α_0 ))
=-▁(〖[4/(1296√6.〖α_0〗^(3/2) )]^ 〗_(x 16) ) (6-R/α_0 ) R/α_0 e^((-5R)/(3α_0 ))



Untuk n=3, l=2, m=0




Misal cos θ = x




)


Untuk n=3 , l=2,m=1
Fin( )=
Qlm( )=Nlm
Nlm=
N21=


Misal : cos



Untuk n=3, l=2,m=2
= e^(i m∅)/√2π
F2(∅)=e^(2i∅)/√2π
= 1/( √2π) e^(2i∅)
Rnl(r) = -〖[〖(2/2a0)〗^3 (n-l-1)!/〖2n[(n+l)!]〗^3 ]〗^2.e^(-1/2).l^l L_(n+l)^(2l+1) 〖(l)〗^
l =2r/a0n;l/2=r/a0n
L_(n+l)^(2l+1) (l) = L_r^3=d^3/〖dl〗^3 L_r (l)
L_r (l)=e^l d^r/〖dl〗^r (l^r e^(-l))
L_5 (l)=e^l d^5/〖dl〗^5 (l^5 e^(-l))
= e^l d^4/〖dl〗^4 (〖-l〗^5 e^(-l)+〖5l〗^4 e^(-l))
= e^l d^3/〖dl〗^3 (l^5 e^(-l)-〖5l〗^4 e^(-l)-〖5l〗^4 e^(-l)+〖20l〗^3 e^(-l))
= e^l d^2/〖dl〗^2 (〖-l〗^5 e^(-l)+〖5l〗^4 e^(-l)+〖5l〗^4 e^(-l)-〖20l〗^3 e^(-l)+〖5l〗^4 e^(-l)-〖20l〗^3 e^(-l)-〖20〗^3 e^(-l)+〖60l〗^2 e^(-l))
= e^l d^ /〖dl〗^ (l^5 e^(-l)-5l^4 e^(-l)-5l^4 e^(-l)+20l^3 e^(-l)-〖5l〗^4 e^(-l)+〖20l〗^3 e^(-l)-〖60l〗^2 e^(-l)+〖20l〗^3 e^(-l)-〖60l〗^2 e^(-l)-〖60l〗^2 e^(-l)+〖120l〗^ e^(-l))
= e^l (〖-l〗^5 e^(-l)+5l^4 e^(-l)+5l^4 e^(-l)-20l^3 e^(-l)+5l^4 e^(-l)-〖20l〗^3 e^(-l)-〖20l〗^3 e^(-l)+〖60l〗^2 e^(-l)+〖5l〗^4 e^(-l)-〖20l〗^3 e^(-l)-20l^3 e^(-l)+〖60l〗^2 e^(-l)-〖20l〗^3 e^(-l)+〖60l〗^2 e^(-l) +60 l^2 e^(-l)-120l^ e^(-l)+〖5l〗^4 〖el〗^(-l) - 〖20l〗^3 e^(-l)- 20l^3 e^(-l)+60 l^2 e^(-l)-20l^3 e^(-l)+60l^2 e^(-l) + 60l^2 e^(-l)- 120l^ e^(-l)- 〖20l〗^2 e^(-l)+〖60l〗^2 e^(-l)+ 〖60l〗^2 e^(-l)-〖120l〗^ e^(-l)+ 60l^2 e^(-l)- 〖120l〗^ e^(-l)-〖120l〗^ e^(-l)+120e^(-l))
= e^l (-l^5 e^(-l)+〖25l〗^4 e^(-l)-〖200l〗^3 e^(-l)+〖600l〗^2 e^(-l)-〖600l〗^ e^(-l)+〖120〗^ e^(-l))
L_5 (l)= 〖-l〗^5+〖25l〗^4-〖200l〗^3+〖600l〗^2-〖600l〗^ +〖120〗^
L_5^5 (l)=d^5/〖dl〗^5 (-l^5+〖25l〗^4 - 〖200l〗^3+ 〖600l〗^2- 〖600l〗^ +〖120〗^ )
= d^4/〖dl〗^4 (-〖5l〗^4+- 〖100l〗^3-〖600l〗^2+ 〖1200l〗^ -〖600〗^ )
= d^3/〖dl〗^3 (-〖20l〗^3+〖300l〗^2-〖1200l〗^ +1200)
= d^2/〖dl〗^2 (-〖60l〗^2+〖600l〗^ -1200)
= d^ /〖dl〗^ (-〖120l〗^ +600)
= -120
R_nl=-((2/(3a_0 ))^2 (3-2-1)!/(2.3((3+1)!)^3 ))^(1⁄2) e^(-r/(3a_0 )) l^2 (-120)
=((2^3/(3^3 〖a_0〗^3 )) 1/(6.(24)^3 ))^(1⁄2) e^(-r/(3a_0 )) .120 l^2
=((2^3/(3^3 〖a_0〗^3 )) 1/(6.(6.4)^3 ))^(1⁄2) e^(-r/(3a_0 )) .120 (2r/(3a_0 ))^2
=(2^3/3^3 1/〖a_0〗^3 1/(6.6^3.4^3 ))^(1⁄2) 120(2/3)^2 r^2/〖a_0〗^2 .e^(-r/(3a_0 ))
=(2^3/3^3 1/〖a_0〗^3 1/(6^2.6^2.2^6 ))^(1⁄2) 120(2/3)(2/3) r^2/〖a_0〗^2 .e^(-r/(3a_0 ))
=((2√2)/(〖3√3.6〗^2.2√2.2√2.〖a_0〗^(3⁄2) ))40(4/3) r^2/〖a_0〗^2 .e^(-r/(3a_0 ))
=(40/(81√6 .2 .〖a_0〗^(3⁄2) )) r^2/〖a_0〗^2 .e^(-r/(3a_0 ))
=(20/(81√6 .〖a_0〗^(3⁄2) )) r^2/〖a_0〗^2 .e^(-r/(3a_0 ))
=[(20/(81√6 .〖a_0〗^(3⁄2) )) r^2/〖a_0〗^2 .e^(-r/(3a_0 )) ]:5√5
=(4/(81√30 .〖a_0〗^(3⁄2) )) r^2/〖a_0〗^2 .e^(-r/(3a_0 ))
Q_dm (θ)=N_lm 〖 P〗_l^m (cos⁡θ )
N_lm=√((2l+1)(l-m)!/2(l+m)!)=√((2.2+1)(2-2)!/2(2+1)!)=√(5.1/(2(24)))=√(5/48)
N_22=√(5.3/18.3)=√(15/144)=√15/12
〖 P〗_l^m (cos⁡θ )=〖(1-〖cos〗^2 θ)〗^(m⁄2) d^m/〖d cos〗^m P_l (cosθ)
P_l (cosθ)=1/(2^l.l!) d^l/〖d (cosθ)〗^l [(cos⁡θ )^2-1]^l
Misal: cos⁡θ=x
P_2 (x)=1/(2^2.2!) d^2/〖d (x)〗^2 [(x)^2-1]^2
=1/8 d^2/〖dx〗^2 (x^4-2x^2+1)
=1/8 d/dx (4x^3-4x)
=1/8 (12x^2-4)
=1/2 (3x^2-1)
〖 P〗_2^2 (x)=〖(1-x^2)〗^1 d^2/〖dx〗^2 1/2 (3x^2-1)
=(1-x^2)d/dx 1/2 (6x)
=3(1-x^2)
〖 P〗_2^2 (cosθ)=3(1-〖cos〗^2 θ)=3〖sin〗^2 θ
Q_22 (θ)=√15/12 3〖sin〗^2 θ=√15/4 〖sin〗^2 θ





BAB III. PENUTUP
KESIMPULAN

Persamaan tiga dimensi pada atom hydrogen dapat diketahui dengan persamaan Scrodinger.
Terdapat 10 persamaan gelombang

Kamis, 24 Juni 2010

sssssssssssssssstttttttttttt

BEDA ANTARA SUKA, CINTA DAN SAYANG

Dihadapan orang yang kau cintai,
musim dingin berubah menjadi musim semi yang
indah

Dihadapan orang yang kau sukai,
musim dingin tetap saja musim dingin hanya
suasananya lebih indah sedikit

Dihadapan orang yang kau cintai,
jantungmu tiba tiba berdebar lebih cepat

Dihadapan orang yang kau sukai,
kau hanya merasa senang dan gembira saja

Apabila engkau melihat kepada mata orang yang
kau cintai, matamu berkaca-kaca

Apabila engkau melihat kepada mata orang yang
kau sukai, engkau hanya tersenyum saja

Dihadapan orang yang kau cintai,
kata kata yang keluar berasal dari perasaan yang
terdalam

Dihadapan orang yang kau sukai,
kata kata hanya keluar dari pikiran saja

Jika orang yang kau cintai menangis,
engkaupun akan ikut menangis disisinya

Jika orang yang kau sukai menangis,
engkau hanya menghibur saja

Perasaan cinta itu dimulai dari mata, sedangkan
rasa suka dimulai dari telinga
Jadi jika kau mau berhenti menyukai seseorang,
cukup dengan menutup telinga.

Tapi apabila kau mencoba menutup matamu dari
orang yang kau cintai, cinta itu berubah menjadi
tetesan air mata dan terus tinggal dihatimu dalam
jarak waktu yang cukup lama.

“Tetapi selain rasa suka dan rasa cinta… ada
perasaan yang lebih mendalam.
Yaitu rasa sayang…. rasa yang tidak hilang
secepat rasa cinta. Rasa yang tidak mudah
berubah.

Perasaan yang dapat membuat mu berkorban
untuk orang yang
kamu sayangi.
Mau menderita demi kebahagiaan orang yang
kamu sayangi.

Cinta ingin memiliki. Tetapi Sayang hanya ingin
melihat orang yang disayanginya bahagia..
walaupun harus kehilangan